СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3342 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители, Метод интервалов

Задачі з параметром. Нерівності з параметром

Задано нерівність $\left| дробь: числитель: x в квадрате плюс ax плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби | меньше 3,$ де x – змінна, a – параметр.

1. Розв'яжіть нерівність $дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 2.$

2. Знайдіть усі значення a , при кожному з яких нерівність виконується за всіх x .

Решение. Решим неравенство:

$дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1 минус 2x в квадрате минус 2x минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2x минус 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1 минус 2x в квадрате минус 2x минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2x минус 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 1 минус 2x в квадрате минус 2x минус 2, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус x в квадрате плюс 2x минус 1, знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0.$

Так как $x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0,$ то надо решить неравенство $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0,$ откуда $x=1.$

Поскольку $x в квадрате плюс x плюс 1 больше 0$ для всех значений x, получаем:

$\left| x в квадрате плюс ax плюс 1 | меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3.$

Решим полученное неравенство:

$система выражений новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 больше минус 3x в квадрате минус 3x минус 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка x плюс 4 больше 0. конец системы .$ $система выражений новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 меньше 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, новая строка x в квадрате плюс ax плюс 1 больше минус 3x в квадрате минус 3x минус 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка x плюс 2 больше 0, новая строка 4x в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка x плюс 4 больше 0. конец системы .$

Для того, чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения x, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

$левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно минус 1 меньше a меньше 5.$ $левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно минус 1 меньше a меньше 5.$ $левая фигурная скобка \beginmatrix левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 16 меньше 0, левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка в квадрате минус 64 меньше 0 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix |a минус 3| меньше 4, |3 плюс a| меньше 8 \endmatrix . равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginmatrix минус 1 меньше a меньше 7, минус 11 меньше a меньше 5 \endmatrix . равносильно$
$равносильно минус 1 меньше a меньше 5.$

Ответ:

1) $левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка ;$