Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 34 № 3342
i

За­да­но нерівність \left| дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс ax плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби | мень­ше 3, де x – змінна, a – па­ра­метр.

1. Розв'яжіть нерівність дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби боль­ше или равно 2.

2. Знайдіть усі зна­чен­ня a , при кож­но­му з яких нерівність ви­ко­нується за всіх x .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби боль­ше или равно 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби минус 2 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 4x плюс 1 минус 2x в квад­ра­те минус 2x минус 2, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус x в квад­ра­те плюс 2x минус 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс x плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 0.

Так как x в квад­ра­те плюс x плюс 1 боль­ше 0, то надо ре­шить не­ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 0, от­ку­да x=1.

По­сколь­ку x в квад­ра­те плюс x плюс 1 боль­ше 0 для всех зна­че­ний x, по­лу­ча­ем:

\left| x в квад­ра­те плюс ax плюс 1 | мень­ше 3x в квад­ра­те плюс 3x плюс 3.

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те плюс ax плюс 1 мень­ше 3x в квад­ра­те плюс 3x плюс 3, новая стро­ка x в квад­ра­те плюс ax плюс 1 боль­ше минус 3x в квад­ра­те минус 3x минус 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 2 боль­ше 0, новая стро­ка 4x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4 боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Для того, чтобы любое зна­че­ние x удо­вле­тво­ря­ло этой си­сте­ме не­ра­венств, нужно, чтобы каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы было вер­ным для лю­бо­го зна­че­ния x, то есть дис­кри­ми­нан­ты левых ча­стей этих не­ра­венств долж­ны быть от­ри­ца­тель­ны­ми:

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginmatrix левая круг­лая скоб­ка 3 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 16 мень­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 64 мень­ше 0 \endmatrix . рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginmatrix |a минус 3| мень­ше 4, |3 плюс a| мень­ше 8 \endmatrix . рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginmatrix минус 1 мень­ше a мень­ше 7, минус 11 мень­ше a мень­ше 5 \endmatrix . рав­но­силь­но минус 1 мень­ше a мень­ше 5.

 

Ответ:

1) левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

2) левая круг­лая скоб­ка минус 1;5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор алгебры: 8\.2\. Ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, не­ра­вен­ства, си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли, Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024