СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 1360 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — демонстраційний варіант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано рівняння

$левая круглая скобка 25 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2 a умножить на 5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс a в квадрате правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: x плюс 3 конец дроби минус 2 конец аргумента =0,$

де x — змiнна, a — стала.

1. Розв’яжіть рівняння $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: x плюс 3 конец дроби минус 2 конец аргумента =0.$

2. Розв’яжіть задане рiвняння залежно вiд значень a.

Решение. Уравнение $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: x плюс 3 конец дроби минус 2 конец аргумента =0$ можно преобразовать:

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8 минус 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8 минус 2x минус 6, знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0 равносильно корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0.$ $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8 минус 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x плюс 8 минус 2x минус 6, знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента =0.$

Ясно, что это верно только при $x=2.$ Решим теперь изначальное уравнение. По пункту 1 понятно, что $x=2$ является его решением при любом a. Если же обнуляется первый множитель, то

$25 в степени x плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 5 в степени x плюс a=0 равносильно 5 в степени x = минус a.$ $25 в степени x плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x плюс a=0 равносильно 5 в степени x = минус a.$ $25 в степени x плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно 5 в степени x плюс a=0 равносильно 5 в степени x = минус a.$ $25 в степени x плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x правая круглая скобка в квадрате плюс 2a умножить на 5 в степени x плюс a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени x плюс a правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 5 в степени x плюс a=0 равносильно 5 в степени x = минус a.$

Если $a больше или равно 0,$ то это уравнение не имеет корней. Если же $a меньше 0,$ то $x= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус a правая круглая скобка .$ Это число может быть вторым корнем, если оно не равно 2 и если для него определено $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби конец аргумента ,$ то есть $дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби больше 0.$ Случай $дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =0$ разрешается, но приводит к $x=2,$ а этот корень уже найден. Решая это неравенство методом интервалов, получим $минус 3 меньше x меньше 2.$ Решая неравенство $минус 3 меньше логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус a правая круглая скобка меньше 2,$ получаем

$5 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше минус a меньше 5 в квадрате равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше минус a меньше 25 равносильно минус 25 меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .$ $5 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше минус a меньше 5 в квадрате равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше минус a меньше 25 равносильно$
$равносильно минус 25 меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .$ $5 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка меньше минус a меньше 5 в квадрате равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше минус a меньше 25 равносильно$
$равносильно минус 25 меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .$

Ответ: при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ корнем будет только $x=2;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 25; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби правая круглая скобка$ корнями будут $x=2$ и $x= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус a правая круглая скобка .$

1360

при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ корнем будет только $x=2;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 25; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби правая круглая скобка$ корнями будут $x=2$ и $x= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус a правая круглая скобка .$

Источник: ЗНО 2021 року з математики — демонстраційний варіант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1360	при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ корнем будет только $x=2;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 25; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби правая круглая скобка$ корнями будут $x=2$ и $x= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус a правая круглая скобка .$