СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 33 № 1359 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — демонстраційний варіант

Классификатор алгебры: 8\.9\. Задачи с параметром, решаемые косвенными способами

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Доказати тотожність, рівняння та нерівності. Різні задачі

Доведiть, що $x в степени 4 плюс y в степени 4 больше или равно x в кубе y плюс xy в кубе$ для всiх дiйснних чисел x та y.

Решение. Перенесем все слагаемые в одну часть и разложим на множители:

$x в степени 4 плюс y в степени 4 минус x в кубе y минус y в кубе x больше или равно 0 равносильно x в кубе левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка минус y в кубе левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в кубе минус y в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка больше или равно 0.$ $x в степени 4 плюс y в степени 4 минус x в кубе y минус y в кубе x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в кубе левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка минус y в кубе левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в кубе минус y в кубе правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка больше или равно 0.$

Очевидно, при $x больше y$ оба множителя положительны, при $x меньше y$ оба множителя отрицательны, при $x=y$ оба множителя равны нулю. Значит, их произведение всегда неотрицательно, что и требовалось доказать.

Источник: ЗНО 2021 року з математики — демонстраційний варіант

Классификатор алгебры: 8\.9\. Задачи с параметром, решаемые косвенными способами

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Ключ