Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C2 № 1121
i

За­да­но си­сте­му нерівно­стей

си­сте­ма вы­ра­же­ний Пи в квад­ра­те минус x в квад­ра­те боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 синус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы .

де x — змінна, a — до­дат­на стала.

1. Розв’яжіть першу нерівність цієї си­сте­ми.

2. Знайдіть мно­жи­ну розв’язків другої нерівності за­леж­но від зна­чень а.

3. Визна­чте всі розв’язки си­сте­ми за­леж­но від зна­чень а.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое не­ра­вен­ство дает

x в квад­ра­те мень­ше или равно Пи в квад­ра­те рав­но­силь­но \absx мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус Пи мень­ше или равно x мень­ше или равно Пи .

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое не­ра­вен­ство, сразу от­ме­тив, что a боль­ше 0. По­лу­ча­ем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a левая круг­лая скоб­ка 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x минус 2a синус x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a левая круг­лая скоб­ка синус x левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус a левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 a левая круг­лая скоб­ка синус x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

При a боль­ше 1 пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, вто­рой от­ри­ца­те­лен, не­ра­вен­ство сво­дит­ся к

2 синус x плюс 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но синус x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x при­над­ле­жит \cup_k при­над­ле­жит Z левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a=1 не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство при всех x из-за пер­во­го мно­жи­те­ля. При 0 мень­ше a мень­ше 1 пер­вый мно­жи­тель от­ри­ца­те­лен, не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид левая круг­лая скоб­ка синус x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 синус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, от­ку­да минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно синус x мень­ше или равно a и

x при­над­ле­жит \cup_k при­над­ле­жит Z левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup_k при­над­ле­жит Z левая квад­рат­ная скоб­ка Пи минус арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Оста­лось сов­ме­стить эти от­ве­ты, вы­брав из от­ве­тов вто­ро­го не­ра­вен­ства толь­ко ле­жа­щие на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:

— якщо a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , тоді x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; арк­си­нус a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка Пи минус арк­си­нус a; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

— якщо a=1, тоді x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

— якщо a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , тоді x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Источник: ЗНО 2019 року з ма­те­ма­ти­ки — проб­ний тест
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024