СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д17 C3 № 1086 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2019 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 5\.4\. Другие задачи на построение сечений, 5\.9\. Периметр, площадь сечения

Складна стереометрія. Круглі тіла

У конусі радіус основи дорівнює R, твірна — l. Через вершину конуса й хорду його основи проведено площину $бета .$ Ця площина утворює з площиною основи конуса гострий кут $альфа .$

1. Зобразіть переріз конуса площиною $бета$ та вкажіть його вид.

2. Обґрунтуйте положення кута $альфа .$

3. Визначте периметр цього перерізу.

Решение. Обозначим концы хорды основания за A и B, вершину конуса за S, центр основания за O, середину отрезка AB за M. Тогда SAB — искомое сечение, это треугольник, две стороны которого — образующие конуса, а третья — хорда основания.

Поскольку треугольники OAB и SAB равнобедренные, высоты в них совпадают с медианами. Значит,

$альфа =\angle левая круглая скобка SAB, AOB правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка SM, OM правая круглая скобка \angle SMO= арктангенс дробь: числитель: SO, знаменатель: MO конец дроби .$ $альфа =\angle левая круглая скобка SAB, AOB правая круглая скобка =$
$=\angle левая круглая скобка SM, OM правая круглая скобка \angle SMO= арктангенс дробь: числитель: SO, знаменатель: MO конец дроби .$ $альфа =\angle левая круглая скобка SAB, AOB правая круглая скобка =$
$=\angle левая круглая скобка SM, OM правая круглая скобка \angle SMO=$
$= арктангенс дробь: числитель: SO, знаменатель: MO конец дроби .$

Итак,

$MO=SO\ctg альфа = корень из: начало аргумента: l в квадрате минус R в квадрате конец аргумента \ctg альфа .$

Тогда в прямоугольном треугольнике AOM получаем

$AM= корень из: начало аргумента: AO в квадрате минус OM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: R в квадрате минус левая круглая скобка l в квадрате минус R в квадрате правая круглая скобка \ctg в квадрате альфа конец аргумента$ $AM= корень из: начало аргумента: AO в квадрате минус OM в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: R в квадрате минус левая круглая скобка l в квадрате минус R в квадрате правая круглая скобка \ctg в квадрате альфа конец аргумента$

$P_ABS=AS плюс BS плюс AB=2AS плюс 2AM=$
$=2l плюс 2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус левая круглая скобка l в квадрате минус R в квадрате правая круглая скобка \ctg в квадрате альфа конец аргумента .$ $P_ABS=AS плюс BS плюс AB=$
$=2AS плюс 2AM=$
$=2l плюс 2 корень из: начало аргумента: R в квадрате минус левая круглая скобка l в квадрате минус R в квадрате правая круглая скобка \ctg в квадрате альфа конец аргумента .$

Ответ: $P=2l плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: синус альфа конец дроби корень из: начало аргумента: R в квадрате минус l в квадрате косинус в квадрате альфа конец аргумента .$

1086

$P=2l плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: синус альфа конец дроби корень из: начало аргумента: R в квадрате минус l в квадрате косинус в квадрате альфа конец аргумента .$

Источник: ЗНО 2019 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1086	$P=2l плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: синус альфа конец дроби корень из: начало аргумента: R в квадрате минус l в квадрате косинус в квадрате альфа конец аргумента .$