Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C3 № 1086
i

У конусі радіус ос­но­ви дорівнює R, твірна — l. Через вер­ши­ну ко­ну­са й хорду його ос­но­ви про­ве­де­но пло­щи­ну бета . Ця пло­щи­на утво­рює з пло­щи­ною ос­но­ви ко­ну­са го­стрий кут альфа .

 

1. Зоб­разіть переріз ко­ну­са пло­щи­ною бета та вкажіть його вид.

2. Обґрун­туй­те по­ло­жен­ня кута альфа .

3. Визна­чте пе­ри­метр цього перерізу.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим концы хорды ос­но­ва­ния за A и B, вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр ос­но­ва­ния за O, се­ре­ди­ну от­рез­ка AB за M. Тогда SAB — ис­ко­мое се­че­ние, это тре­уголь­ник, две сто­ро­ны ко­то­ро­го — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­тья — хорда ос­но­ва­ния.

По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки OAB и SAB рав­но­бед­рен­ные, вы­со­ты в них сов­па­да­ют с ме­ди­а­на­ми. Зна­чит,

альфа =\angle левая круг­лая скоб­ка SAB, AOB пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка SM, OM пра­вая круг­лая скоб­ка \angle SMO= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: MO конец дроби .

Итак,

MO=SO\ctg альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: l в квад­ра­те минус R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та \ctg альфа .

Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOM по­лу­ча­ем

AM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO в квад­ра­те минус OM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка l в квад­ра­те минус R в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та

и

P_ABS=AS плюс BS плюс AB=2AS плюс 2AM=2l плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка l в квад­ра­те минус R в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: P=2l плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R в квад­ра­те минус l в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та .

Источник: ЗНО 2019 року з ма­те­ма­ти­ки — до­дат­ко­ва сесія
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 5\.4\. Дру­гие за­да­чи на по­стро­е­ние се­че­ний, 5\.9\. Пе­ри­метр, пло­щадь се­че­ния
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024