СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д16 C2 № 1061 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2019 року з математики — основна сесія

Задачі з параметром. Різні завдання із параметром

Задано систему нерівностей

$система выражений дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи a правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 2 Пи a правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка больше a, конец системы .$

де x — змінна, a — стала.

1. Розв’яжіть першу нерівність цієї системи.

2. Визначте множину розв’язків другої нерівності системи залежно від значень а.

3. Визначте всі розв’язки системи залежно від значень а.

Решение. Первое неравенство можно решить методом интервалов, получим ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Во втором неравенстве сначала преобразуем показатель степени. Имеем:

$2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 2 Пи ax правая круглая скобка плюс x=$
$= 2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка правая круглая скобка плюс x=1 плюс x.$ $2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 2 Пи ax правая круглая скобка плюс x=$
$= 2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате левая круглая скобка Пи ax правая круглая скобка правая круглая скобка плюс x=$
$=1 плюс x.$

Неравенство принимает вид

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка больше a равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше a.$

При $a меньше или равно 0$ это верно всегда, при $a больше 0$ неравенство можно переписать в виде

$2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби равносильно x плюс 1 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби равносильно x меньше минус логарифм по основанию 2 a минус 1.$ $2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби равносильно x плюс 1 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби равносильно$
$равносильно x меньше минус логарифм по основанию 2 a минус 1.$

Теперь совместим эти два неравенства. При $a меньше или равно 0$ ничего не изменится, решением останется $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ При $a больше 0$ нужно брать только $x меньше минус логарифм по основанию 2 a минус 1.$ Значит, нужно выяснить, как соотносится $минус логарифм по основанию 2 a минус 1$ с числами −1 и 2. Решим, например, неравенство

$минус логарифм по основанию 2 a минус 1 меньше минус 1 равносильно логарифм по основанию 2 a больше 0 равносильно a больше 1.$

При $a=1$ будет равенство, а при $a меньше 1$ будет другой знак неравенства. Решим неравенство

$минус логарифм по основанию 2 a минус 1 меньше 2 равносильно логарифм по основанию 2 a больше минус 3 равносильно a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

При $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ будет равенство, а при $a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ будет другой знак неравенства.

Ответ:

— $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка ;$

— $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 a правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ;$

— $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка ,$ якщо $a принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка ;$

— $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 a правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ якщо $a принадлежит левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ:

1061

Источник: ЗНО 2019 року з математики — основна сесія

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

1061