СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д17 C3 № 1018 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — пробний тест

Классификатор стереометрии: 3\.13\. Прочие прямые призмы, 5\.6\. Сечение  — треугольник, 5\.9\. Периметр, площадь сечения

Складна стереометрія. Багатогранники

Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є ромб ABCD, у якому гострий кут A дорівнює а. Площина y, що проходить через одну з вершин верхньої основи та меншу діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий β. Висота призми дорівнює h.

1. Побудуйте переріз заданої призми площиною у.

2. Визначте площу цього перерізу.

Решение. Меньшей диагональю основания будет BD. Если плоскость проходит еще и через B₁ или D₁, то она перпендикулярна основанию, что противоречит условию. Пусть она проходит через A₁. Тогда A₁BD — сечение. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть O — середина BD. Тогда AO и A₁O перпендикулярны BD, поэтому

$бета =\angle левая круглая скобка A_1BD, ABCD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка A_1O, AO правая круглая скобка =\angle A_1OA.$

В прямоугольном треугольнике A₁OA по условию $AA_1=h,$ тогда

$A_1O= дробь: числитель: h, знаменатель: синус бета конец дроби ,$ $AO=h\ctg бета .$

Диагонали ромба перпендикулярны, а диагонали являются биссектрисами углов. В прямоугольном треугольнике AOD получим

$OD=AO тангенс \angle OAD=h\ctg бета тангенс дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда

$S_A_1BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A_1O умножить на BD=A_1O умножить на OD= дробь: числитель: h, знаменатель: синус бета конец дроби умножить на h\ctg бета тангенс дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: h в квадрате \ctg бета тангенс дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: синус бета конец дроби .$

Ответ: 1) див. рисунок; 2) $S_BC_1D=h в квадрате дробь: числитель: \ctg бета умножить на тангенс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: синус бета конец дроби .$

1018

1) див. рисунок; 2) $S_BC_1D=h в квадрате дробь: числитель: \ctg бета умножить на тангенс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: синус бета конец дроби .$

Источник: ЗНО 2018 року з математики — пробний тест

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1018	1) див. рисунок; 2) $S_BC_1D=h в квадрате дробь: числитель: \ctg бета умножить на тангенс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: синус бета конец дроби .$