Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6·6 = 36. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков, равна

Рав­но­воз­мож­ны 4 ис­хо­да экс­пе­ри­мен­та: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел вы­па­да­ет ровно один раз в двух слу­ча­ях: орел-решка и решка-орел. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно 1 раз, равна

Обо­зна­чим вы­па­де­ние орла бук­вой О, а вы­па­де­ние решки бук­вой Р. Воз­мож­ных во­семь ис­хо­дов:

Из них бла­го­при­ят­ны­ми яв­ля­ют­ся OОР, ОРО и РОО. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна то есть 0,375. (Этот под­ход за­труд­ни­те­лен в слу­чае боль­шо­го числа бро­са­ний мо­нет­ки.)

Ответ: 0,375.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Каж­дое бро­са­ние с рав­ной ве­ро­ят­но­стью может дать орел или решку, по­это­му для трех бро­са­ний рав­но­воз­мож­ны раз­лич­ных ва­ри­ан­тов. Орел вы­па­да­ет ровно два раза в трех слу­ча­ях: орел-решка-орел, решка-орел-орел, орел-орел-решка. По­это­му ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия

При­ве­дем ре­ше­ние, ос­но­ван­ное на ком­би­на­тор­ных фор­му­лах.

Общее ко­ли­че­ство раз­лич­ных ва­ри­ан­тов опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой для раз­ме­ще­ний с по­вто­ре­ни­я­ми: Ко­ли­че­ство спо­со­бов по­лу­чить ровно три орла да­ет­ся пе­ре­ста­нов­ка­ми с по­вто­ре­ни­я­ми Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна от­но­ше­нию бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев ко всем воз­мож­ным:

При­ве­дем ре­ше­ние, ис­поль­зу­ю­щее тео­ре­мы о ве­ро­ят­но­стях.

Воз­мож­ны три ва­ри­ан­та: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Фор­му­ла Бер­нул­ли.

Ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния мо­нет­ки одной сто­ро­ной и два­жды — дру­гой сто­ро­ной равна 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Вы­брать из этих «трех» сто­рон два орла можно спо­со­ба­ми. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 0,375.

При­ме­ча­ние. По­след­нее рас­суж­де­ние — не что иное, как вывод фор­му­лы Бер­нул­ли для на­ше­го слу­чая. В общем слу­чае, если про­во­дит­ся n ис­пы­та­ний, в каж­дом из ко­то­рых не­ко­то­рое со­бы­тие на­сту­па­ет в ве­ро­ят­но­стью p, то ве­ро­ят­ность на­ступ­ле­ния этого со­бы­тия ровно k раз да­ет­ся фор­му­лой

Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Фи­зи­ком», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 110, 101, 011, а всего ком­би­на­ций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,375.

Сумма очков может быть равна 5 в че­ты­рех слу­ча­ях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.