СКЛАДУ ЗНО, математика: завдання, відповіді, рішення

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска

Категория

Атрибут

Тип 34 № 3549 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром, 8\.10\. Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Использование свойств функций, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задачі з параметром. Нерівності з параметром

Задано неравенство

$x в квадрате левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: x в квадрате a, знаменатель: x в квадрате плюс a в квадрате конец дроби правая круглая скобка минус x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: x в квадрате a, знаменатель: x в квадрате плюс a в квадрате конец дроби правая круглая скобка \geqslant0,$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите неравенство при $a=0.$

2.  При каких значениях $x не равно 0,$ неравенство выполняется при любых значениях a.

Решение.

Домножим неравенство на $x в квадрате плюс a в квадрате больше 0.$ Получим:

$левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус x в квадрате a правая круглая скобка больше или равно 0.$

При $a=0$ получаем $левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка x в квадрате больше или равно 0,$ что верно только при $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$ При таких x множитель $x в квадрате минус x$ неотрицателен, остается лишь выяснить, для каких из этих значений x будет всегда неотрицателен и второй множитель, равный $x в квадрате левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате .$ Ясно, что при $a меньше или равно 1$ он всегда неотрицателен, а при $a больше 1$ должно выполняться условие $x в квадрате левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс a в квадрате больше или равно 0,$ то есть $x в квадрате меньше или равно дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a минус 1 конец дроби .$

Найдем наименьшее значение выражения $f левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a минус 1 конец дроби$ при $a больше 1.$ Имеем:

$f' левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: 2a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка минус a в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Значит, производная отрицательна при $a принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка$ и положительна при $a больше 2.$ Итак, наименьшее значение будет при $a=2$ и равно $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =4.$

Итак, если $x в квадрате больше 4,$ то можно взять $a=2$ и условие нарушится. А если $x в квадрате меньше или равно 4,$ то вторая скобка будет положительна при любом a. Итак, нужно чтобы $x принадлежит левая квадратная скобка минус 2;2 правая квадратная скобка .$ Окончательно: $x принадлежит левая квадратная скобка минус 2;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Ответ:

1)   $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка ;$

2)   $x принадлежит левая квадратная скобка минус 2;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Ответ:

РешениеСпрятать решение

Всего: 1 1–1

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе