СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д15 C1 № 949 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

Классификатор алгебры: Построение графика, 15\.10\. Применение интеграла к нахождению площадей фигур

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

Задано функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе$ i $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =4|x|.$

1. Побудуйте графік функції f.

2. Побудуйте графік функції g.

3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій f i g.

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f i g.

Решение. Графики функций $y=x в кубе$ и $y=4|x|$ представлены на рисунке. Первый из них стандартный, а второй получается из графиков $y=4x$ при $x больше или равно 0$ и $y= минус 4x$ при $x меньше 0.$ Найдем точки их пересечения. Решим уравнение $x в кубе =4\absx.$ Ясно, что при $x меньше 0$ левая часть отрицательна, а правая положительна и корней нет. Значит $x больше или равно 0,$ тогда $\absx=x$ и получается уравнение

$x в кубе =4x равносильно x в кубе минус 4x=0 равносильно x левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0 равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0.$

Его корнями будут $x=0,$ $x=2$ и $x= минус 2$ (последний корень не учитывается, поскольку $x больше или равно 0.$ Из графиков видно, что при $0 меньше x меньше 2$ график $y=4\absx$ проходит выше графика $y=x в кубе .$ Значит, ограниченная ими площадь равна

$принадлежит t\limits_0 в квадрате левая круглая скобка 4\absx минус x в кубе правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_0 в квадрате левая круглая скобка 4x минус x в кубе правая круглая скобка dx=\dvpod2x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 02=$
$=2 умножить на 2 в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2 в степени 4 минус левая круглая скобка 2 умножить на 0 в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 0 в степени 4 правая круглая скобка =8 минус 4 минус левая круглая скобка 0 минус 0 правая круглая скобка =4.$ $принадлежит t\limits_0 в квадрате левая круглая скобка 4\absx минус x в кубе правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_0 в квадрате левая круглая скобка 4x минус x в кубе правая круглая скобка dx=$
$=\dvpod2x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 02=2 умножить на 2 в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2 в степени 4 минус левая круглая скобка 2 умножить на 0 в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 0 в степени 4 правая круглая скобка =$
$=8 минус 4 минус левая круглая скобка 0 минус 0 правая круглая скобка =4.$

Ответ: 3) x₁ = 0; x₂ = 2; 4) S = 4.

949

3) x₁ = 0; x₂ = 2; 4) S = 4.

Источник: ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

Классификатор алгебры: Построение графика, 15\.10\. Применение интеграла к нахождению площадей фигур

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	949	3) x₁ = 0; x₂ = 2; 4) S = 4.