СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3555 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано уравнение

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0,$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите уравнение при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Решение. Решим уравнение при $a=0:$

$дробь: числитель: 9x в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 4,x в квадрате =0 конец системы . равносильно x=0.$ $дробь: числитель: 9x в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно минус 4,x в квадрате =0 конец системы . равносильно x=0.$

Вернемся ко второму пункту. Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно x плюс 4,a не равно минус x минус 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно x плюс 4,a не равно минус x минус 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно x плюс 4,a не равно минус x минус 4. конец совокупности .$

Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено синим) будет совокупность двух прямых $a=3x,a= минус 3x,$ исключая точки, которые лежат на прямых $a=x плюс 4,a= минус x минус 4,$ а именно: точки $левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 2; минус 6 правая круглая скобка .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$a меньше минус 6; минус 6 меньше a меньше минус 3; минус$
$минус 3 меньше a меньше 0;0 меньше a меньше 3;3 меньше a меньше 6;иa больше 6.$

Ответ:

1)   $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка ;$

2)   $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 6; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ:

1)   $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка ;$

3555

1)   $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка ;$

Классификатор алгебры: 8\.2\. Рациональные уравнения, неравенства, системы с параметром

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

3555

1)   $левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка ;$