СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3554 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.9\. Задачи с параметром, решаемые косвенными способами

Методы алгебры: Использование свойств функций

Задачі з параметром. Рівняння з параметром

Задано уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате минус 4x правая круглая скобка в квадрате плюс a|4x минус x в квадрате | минус 2a минус 4=0,$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите уравнение при $a=0.$

2.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет семь или восемь решений.

Решение. Решим уравнение при $a=0:$

$левая круглая скобка x в квадрате минус 4x правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x в квадрате минус 4x=0 равносильно совокупность выражений x=0,x=4. конец совокупности .$

Вернемся ко второму пункту. Сделаем замену $z=|x в квадрате минус 4x|\geqslant0.$ Рассмотрим уравнение $z в квадрате плюс az минус 2a минус 4=0.$ Построим эскиз графика $z=|x в квадрате минус 4x|.$ Функция $z=|x в квадрате минус 4x|$ обладает свойством: $z левая круглая скобка x правая круглая скобка =z левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка$ при всех x, причём $z левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =4.$

Следовательно, если уравнение $z в квадрате плюс az минус 2a минус 4=0$ имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.

Заметим, что это уравнение имеет два решения: $z=2,$ $z= минус 2 минус a$ при любом значении а. При $a= минус 4$ эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда

$система выражений 0 меньше минус 2 минус a\leqslant4,a не равно минус 4 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 6 меньше или равно a меньше минус 4, минус 4 меньше a меньше минус 2. конец совокупности .$

Ответ:

1)   $левая фигурная скобка 0;4 правая фигурная скобка ;$

2)   $a принадлежит левая квадратная скобка минус 6; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ:

1)   $левая фигурная скобка 0;4 правая фигурная скобка ;$

3554

1)   $левая фигурная скобка 0;4 правая фигурная скобка ;$

Классификатор алгебры: 8\.9\. Задачи с параметром, решаемые косвенными способами

Методы алгебры: Использование свойств функций

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

3554

1)   $левая фигурная скобка 0;4 правая фигурная скобка ;$