СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3550 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Задачі з параметром. Нерівності з параметром

Задано неравенство

$x в квадрате плюс 4x плюс 6a|x плюс 2| плюс 9a в квадрате \leqslant0,$

где x — переменная, a — параметр.

1.  Решите неравенство при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при которых неравенство имеет не более одного решения.

Решение. Решим неравенство при $a=0,$ имеем:

$x в квадрате плюс 4x меньше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 4 меньше или равно x меньше или равно 0.$ $x в квадрате плюс 4x меньше или равно 0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 4 меньше или равно x меньше или равно 0.$

Вернемся ко второму пункту. Обозначим $|x плюс 2|=t,$ тогда неравенство примет вид $t в квадрате плюс 6at плюс 9a в квадрате минус 4 меньше или равно 0$

$левая круглая скобка t плюс 3a правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 равносильно минус 2 меньше или равно t плюс 3a меньше или равно 2$

t принимает любые положительные значения. Если это неравенство выполнено при каком-то t и $t плюс 3a меньше 2,$ то можно немного увеличить t и получить другое решение. Значит, $t плюс 3a больше или равно 2,$ поэтому $a больше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ При меньших a можно взять $t=0$ для положительных a и $t= минус 3a$ для отрицательных a и получить решение, для которого $t плюс 3a меньше 2.$