Ре­ше­ние. Пусть SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S и ос­но­ва­ни­ем АВСD, точка О  — центр ос­но­ва­ния. Угол ASC  — плос­кий угол при вер­ши­не. Это и есть угол γ.

Про­ве­дем апо­фе­му SL бо­ко­вой грани ASC. По­сколь­ку тре­уголь­ник ASC рав­но­бед­рен­ный, то вы­со­та SL, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­ния, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной. Вы­ра­зим BL из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BSL , по­лу­чим:

Тогда Найдём пло­щадь квад­ра­та, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти равен Апо­фе­ма тре­уголь­ни­ка ASC равна

Вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен

 

Ответ: 1) см. рис.; 2) 3)