Ре­ше­ние. Пусть SABCD  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S и ос­но­ва­ни­ем АВСD, точка О  — центр ос­но­ва­ния. Про­ведём вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO и ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти OB. Пря­мая OB яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SB на плос­кость ос­но­ва­ния, по­это­му угол SBO это угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то есть угол α.

В ос­но­ва­нии лежит квад­рат, по­это­му

Про­ве­дем апо­фе­му SL бо­ко­вой грани ASB. По­сколь­ку тре­уголь­ник ASB рав­но­бед­рен­ный, то вы­со­та SL , про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной. Сле­до­ва­тель­но, Най­дем SL по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 1) см. рис.; 2) 3)