Ре­ше­ние. Пусть SABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S и ос­но­ва­ни­ем АВС, точка О  — центр ос­но­ва­ния. Про­ведём апо­фе­му SL бо­ко­вой грани SBC и ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти OL. Пря­мая ОL яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SL на плос­кость ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах из вза­им­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых OL и BC сле­ду­ет вза­им­ная пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых SL и BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые SL и OL суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBC и ABC, а по­то­му угол SLO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. Это и есть угол β.

Вы­ра­зим SL и OL из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOL , по­лу­чим:

Объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 1) см. рис.; 2) 3)