СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3436 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−2
1
2

Задано функцію $y=3x в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби x в степени 4 .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка $y=3x в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби x в степени 4$ з віссю x .

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби x в степени 4 .$

4. Визначте нулі функції f' .

5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

6. Побудуйте ескіз графіка функції f .

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в степени 4 =$
$=12 минус дробь: числитель: 3 умножить на 16, знаменатель: 8 конец дроби =12 минус 6=6;$ $y левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =$
$=3 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в степени 4 =$
$=12 минус дробь: числитель: 3 умножить на 16, знаменатель: 8 конец дроби =12 минус 6=6;$

$y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =3 умножить на 1 в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 1 в степени 4 =3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 21, знаменатель: 8 конец дроби ;$

$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3 умножить на 2 в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 2 в степени 4 =12 минус дробь: числитель: 3 умножить на 16, знаменатель: 8 конец дроби =12 минус 6=6.$ $y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3 умножить на 2 в квадрате минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 2 в степени 4 =$
$=12 минус дробь: числитель: 3 умножить на 16, знаменатель: 8 конец дроби =12 минус 6=6.$

Запишем функцию в виде

$y= дробь: числитель: 24x в квадрате минус 3x в степени 4 , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 3x в квадрате левая круглая скобка 8 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби .$

Это многочлен четвертой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Точки пересечения с осями координат, очевидно, $x=0,$ $x=\pm корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента$ и $y=0,$ то есть график проходит через начало координат и точки $левая круглая скобка \pm корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента ; 0 правая круглая скобка .$ Функция, очевидно, является четной.

Возьмем ее производную

$y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка 48x минус 12x в кубе правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка .$ $y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка 48x минус 12x в кубе правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка .$ $y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка 48x минус 12x в кубе правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка .$

Исследуя знак этого выражения методом интервалов, получим $y' больше 0$ при $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка$ и $y' меньше 0$ при $x принадлежит левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Поэтому функция убывает на промежутках $левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ возрастает на промежутках $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка .$ Значит, $x=0$   — точка минимума, а $x=\pm 2$   — точки максимума. При этом $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0$ и

$y левая круглая скобка \pm 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 24 умножить на 4 минус 3 умножить на 16, знаменатель: 8 конец дроби =6.$

График представлен на рисунке.

Ключ