СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3435 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−3
0
3

Задано функцію $y=3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Визначте та запишіть координати точок перетину графіка $y=3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби$ з віссю x .

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби .$

4. Визначте нулі функції f' .

5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

6. Побудуйте ескіз графіка функції f .

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 9 конец дроби = минус 9 плюс 3= минус 6;$ $y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= минус 9 плюс 3= минус 6;$

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =3 умножить на 0 минус дробь: числитель: 0 в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =0;$

$y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 умножить на 3 минус дробь: числитель: 3 в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =9 минус 3=6.$

Функция определена и дифференцируема на $R ,$ нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат. Решим уравнение y  =  0:

$3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =0 равносильно 27x минус x в кубе =0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 27 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 3 корень из 3 , x=3 корень из 3 . конец совокупности .$ $3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =0 равносильно 27x минус x в кубе =0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 27 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 3 корень из 3 , x=3 корень из 3 . конец совокупности .$ $3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 27x минус x в кубе =0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка 27 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 3 корень из 3 , x=3 корень из 3 . конец совокупности .$

Следовательно, график функции пересекает оси координат в точках $левая круглая скобка минус корень из 3 ; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка корень из 3 ; 0 правая круглая скобка .$ Промежутки знакопостоянства отметим на рисунке. Найдем производную:

$y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 9 минус x в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка .$ $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 9 минус x в квадрате правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка .$

Производная обращается в нуль в точках −3 и 3. Изобразим знаки производной и поведение функции на рисунке. Функция убывает на лучах $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 3; 3 правая квадратная скобка .$ Минимум достигается в точках −3:

$y_\min=y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 9 плюс дробь: числитель: 27, знаменатель: 9 конец дроби = минус 6.$

Максимум в силу нечетности функции противоположен минимуму: $y_\max= минус y_\min=6.$ График функции изображен на рисунке.

Ключ