СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3346 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Задачі з параметром. Системи з параметром

Задано систему рівнянь

$система выражений 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =a плюс 3, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно a плюс 4, конец системы .$

де x – змінна, a – параметр.

1. Розв'яжіть рівняння $4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =3.$

2. Визначте всі значення параметра, а при кожному з яких система має рівно два рішення.

Решение. Решим уравнение:

$4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =3 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени x минус 3=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени x = минус 1,2 в степени x =3 конец совокупности . равносильно x= логарифм по основанию 2 3.$ $4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =3 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 умножить на 2 в степени x минус 3=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 в степени x = минус 1,2 в степени x =3 конец совокупности . равносильно x= логарифм по основанию 2 3.$

Для того, чтобы данная система имела ровно два решения, уравнение $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =a плюс 3$ (*) должно иметь корни, ровно два из которых удовлетворяют неравенству $\log _2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно a плюс 4.$

Положим $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t больше 0,$ $a плюс 4=b.$ Тогда уравнение (*) принимает вид $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =b.$ Это уравнение имеет два различных положительных корня $t=1\pm корень из: начало аргумента: b конец аргумента$ при $0 меньше b меньше 1.$ Таким образом, $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =1\pm корень из: начало аргумента: b конец аргумента ,$ откуда $x=\log _2 левая круглая скобка 1\pm корень из: начало аргумента: b конец аргумента правая круглая скобка .$ Так как $0 меньше 1 минус корень из: начало аргумента: b конец аргумента меньше 1,$ а $1 меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента меньше 2,$ то $\log _2 левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: b конец аргумента правая круглая скобка меньше 0,$ а $0 меньше \log _2 левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента правая круглая скобка меньше 1.$

Неравенство $\log _2 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно b$ при $0 меньше b меньше 1$ выполнено для всех $x меньше 1,$ поскольку левая часть неравенства больше 1, а правая меньше 1. Таким образом, система имеет ровно два решения при $0 меньше b меньше 1,$ откуда $минус 4 меньше a меньше минус 3.$