СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д12 B2 № 2516 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Обчислення у стереометрії. Піраміди

У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює 5, а тангенс кута між бічною гранню і площиною основи дорівнює $0,25 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$ Знайти бік основи піраміди.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Выразим длину стороны AC через длину боковой стороны $AS.$ Высота правильного треугольника выражается через его сторону: $AH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AC.$ Точкой O высота AH делится в отношении 2 : 1, поэтому

$AO= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби AC,$

$OH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби AC.$

Угол SHO равен углу между боковой гранью и плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника $SOH:$

$SO=OH тангенс \angle SHO= дробь: числитель: 1 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби AC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби AC.$ $SO=OH тангенс \angle SHO=$
$= дробь: числитель: 1 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби AC= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 24 конец дроби AC.$

Из прямоугольного треугольника AOS по теореме Пифагора:

$AS= корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс SO в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =$
$=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 64 плюс 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из д робь: числитель: 25, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби AC.$ $AS= корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс SO в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =$
$=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 64 плюс 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из д робь: числитель: 25, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби AC.$ $AS= корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс SO в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =$
$=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 64 плюс 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =$
$=AC корень из д робь: числитель: 25, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби AC.$ $AS= корень из: начало аргумента: AO в квадрате плюс SO в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =$
$=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =$
$=AC корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 64 плюс 11, знаменатель: 192 конец дроби конец аргумента =$
$=AC корень из д робь: числитель: 25, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби AC.$